sábado, 30 de julio de 2011

Perspectiva de prisma y cuña: sombras

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En la figura podemos observar un objeto representado en tres dimensiones y su perspectiva sobre el plano del cuadro amarillo. La planta de la figura formada por un prisma y una cuña está abatida y es coplanar con el plano del cuadro. Al prolongar los lados de la figura, por ejemplo (a) como tenemos que se cortan en la línea de tierra o eje de giro del abatimiento, o también recta intersección del plano de cuadro (en amarillo) con el plano geometral (plano horizontal del suelo en color gris). Cada recta abatida corta a la línea de tierra en un punto que denominamos traza Ta.
La pieza, mantiene fundamentalmente dos direcciones definidas por las rectas d d ‘. Por el punto de vista V se hacen rectas paralelas a ambas hasta que cortan al plano del cuadro en los puntos de fuga F F’, si unimos estos puntos con las trazas correspondientes de cada recta obtenemos la perspectiva de cada una de las rectas de la figura, por ejemplo la recta a’.
La perspectiva de la figura es lo que ve un sujeto que coloca su punto de vista donde está marcado en el dibujo, esto quiere decir que la pieza y su representación sobre el plano del cuadro son coincidentes para ese punto de vista, o lo que es lo mismo cada punto de la figura y su perspectiva está alineado con el punto de vista.








En la figura podemos observar la representación en perspectiva del ejercicio anterior, solapada con la representación en alzado de la pieza y el abatimiento de la proyección en planta por debajo de la línea de tierra.
Las alineaciones que hacían corresponder cada punto de la figura con su perspectiva y con el punto de vista, difieren en esta nueva representación ortogonal, aquí lo que se da es que la proyección ortogonal de los elementos anteriores sí que están alineadas, esto quiere decir que el punto principal P, la perspectiva de un punto y el punto correspondiente de la pieza sí que son los tres elementos perfectamente colineales.
Las alturas de la figura se colocan sobre la línea de tierra y se proyecta esta longitud hasta cada uno de los puntos de fuga, donde intercepta a los puntos de la base de la figura en perspectiva se levantan verticales hasta que corten a la recta superior del segmento proyectado sobre el punto de fuga.














Para calcular las sombras de la figura, tenemos que los rayos solares d a son paralelos por estar el sol infinitamente lejos,-simplificación geométrica que facilita la ejecución del ejercicio.
El conjunto de todos los rayos solares paralelos definen la dirección del sol, y cada una de las proyecciones ortogonales de estos rayos sobre el plano del cuadro d’ determinan la dirección por el suelo de cada uno de los rayos.
Para determinar la sombra de cada elemento de la figura basta con calcular las sombras de los puntos (que son, por ejemplo, la intersección de la dirección del rayo de luz d, y su proyección ortogonal d’ sobre el plano geometral) marcar y diferenciar la zona a la que no llega la luz. De esta manera se tiene que todos los triángulos que pasan por los puntos de la figura n son todos triángulos semejantes con las tres direcciones de los lados coincidentes.
Tenemos también que si una cara de la figura es paralela al suelo, como la proyección cilíndrica o por paralelas de una figura sobre un plano paralelo al anterior transforma esta figura en otra idéntica, se desprende que todas las aristas de la figura de son paralelas al plano geometral permanecen paralelas sus sombras (la recta n es paralela a la recta ns).
Para determinar los dos puntos de fuga correspondientes a la dirección de los rayos solares y a sus proyecciones sobre el suelo o plano geometral se hace por el punto de vista V dos rectas paralelas a ambas b b’, en los puntos de intersección de estas dos rectas con el plano del cuadro PC tenemos el punto de fuga de todos los rayos solares y el punto de fuga de todas las proyecciones de los rayos solares sobre el suelo, respectivamente.



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Coordenadas solares en sistema  diédrico y en perspectiva cónica
Tenemos un prisma del que vamos a calcular los parámetros del sol en perspectiva cónica a partir del sistema  diédrico. La dirección de los rayos de sol paralelos viene definido por la letra d, su proyección sobre el suelo es d' y su abatimiento - para poder ver el ángulo que forman las dos rectas anteriores d-d', es (d).
Ese ángulo que hemos denominado g en el espacio y que abatido es (g), es el ángulo que forma el rayo de sol con el suelo, llamada altitud o altura angular del sol. Mientras que el ángulo u que forma la línea norte-sur con la dirección de los rayos en planta -d'- es el acimut. Éste es el ángulo que forma la proyección ortogonal del rayo solar sobre el suelo con la línea norte-sur.
Para calcular la sombra del objeto, habrá que hacer por el punto de vista V una recta paralela a la dirección de la proyección d' de los rayos solares d, donde esta recta corta el plano del cuadro amarillo vertical, tenemos el punto de fuga F1 de estas rectas.
Para calcular el punto de fuga de los rayos de sol, definidos por la dirección d, habrá que hacer igualmente por el punto de vista V una recta paralela a esa dirección, obteniendo en la intersección con el plano del cuadro F2.
De forma genérica podemos decir que la dirección d de los rayos solares fugan siempre a un punto de fuga F2 que queda sobre la vertical que pasa por la fuga F1 de la dirección de las proyecciones d' de los rayos solares. Ello es debido a que un rayo de sol d y su proyección ortogonal d' el suelo se sitúan siempre sobre un plano vertical (ya que su proyección ortogonal es la intersección del plano que pasa por el rayo de sol con el suelo y por tanto pertenece al plano vertical que pasa por el  rayo), por tanto las paralelas por el punto de vista a estas dos rectas definen igualmente un plano vertical que corta al plano del cuadro (plano amarillo ortogonal a PV) en dos puntos alineados también, obviamente, sobre una vertical, ya que la intersección de dos planos verticales es una recta vertical F1-F2.



En la figura podemos ver la planta y el alzado, junto a la perspectiva cónica del ejercicio anterior. Hemos marcado la dirección norte-sur NS en planta y la dirección d de los rayos de sol también en esa proyección, ambas rectas coinciden (d y d'). El ángulo que forma en planta d y la línea norte-sur es el acimut g, contado siempre en el sentido horario (hacia la derecha).
Para obtener el ángulo real de g (la altitud del sol), tenemos que abatir ese ángulo, para ello tomamos la longitud de la arista vertical del prisma en el alzado y la colocamos ortogonalmente a la línea d a partir del vértice donde se apoya. Uniendo el extremo de esta arista vertical abatida con X  obtenemos (d). El ángulo que forma d con (d) es la altitud del sol en verdadera magnitud.
Para obtener la perspectiva de un punto A, alineamos el punto de vista V con ese punto en planta A1 obteniendo en la intersección con el plano del cuadro su perspectiva A1', por éste levantamos una vertical hasta que corte a la unión de ese punto en el alzado A2 con el punto principal P (proyección ortogonal del punto de vista sobre el plano del cuadro), el punto de intersección A2' es la perspectiva de ese punto. Por todos los puntos de la figura hacemos el mismo procedimiento.
Si calculamos las sombras en el sistema diédrico (ver cálculo de sombras en ese sistema), podemos obtenerlas rápidamente en la perspectiva, haciendo por el punto de vista V una recta paralela a la dirección d de las sombras, ésta determina en la intersección con el plano del cuadro el punto de fuga F1 de esas rectas.
Obtenido también en planta la sombra de la figura, tenemos que la sombra de la cara superior ha a ser otro cuadrado de las mismas dimensiones y que mantiene las aristas también paralelas a la cara original, ya que es la traslación mediante paralelas de esa cara sobre el suelo, lo que en geometría se llama una homotecia afín.
Si por ejemplo representamos la recta o que pasan por dos puntos ZY de la sombra en el suelo, tenemos que por ser una recta perpendicular al plano del cuadro tiene su punto de fuga en el punto principal P.
La intersección de la perspectiva de esta recta o' con la intersección de la recta ñ, que es la que determina la sombra de la arista vertical con dirección al punto de fuga F1 define la sombra del vértice del cubo más cercano al punto de vista, esto es Z'. Si unimos ese vértice con su sombra Z' obtenemos sobre la vertical de F1 el segundo punto de fuga F2 que es realmente el punto de fuga de todos los rayos paralelos del sol.
Por tanto la intersección de todas las líneas que salen de los vértices de la figura hasta F2 con la intersección de las líneas que unen las proyecciones de estos vértices sobre el suelo hasta F1 son las sombras X'Y'Z' de los puntos anteriores de la figura, aquellos que no están sobre el suelo y que corresponden a la cara amarilla superior del cubo.


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